Dynamic Time Warping 动态时间规整算法-白红宇

Dynamic Time Warping（DTW）是一种衡量两个时间序列之间的相似度的方法，主要应用在语音识别领域来识别两段语音是否表示同一个单词。

1. DTW方法原理

在时间序列中，需要比较相似性的两段时间序列的长度可能并不相等，在语音识别领域表现为不同人的语速不同。而且同一个单词内的不同音素的发音速度也不同，比如有的人会把“A”这个音拖得很长，或者把“i”发的很短。另外，不同时间序列可能仅仅存在时间轴上的位移，亦即在还原位移的情况下，两个时间序列是一致的。在这些复杂情况下，使用传统的欧几里得距离无法有效地求的两个时间序列之间的距离（或者相似性）。

DTW通过把时间序列进行延伸和缩短，来计算两个时间序列性之间的相似性：

如上图所示，上下两条实线代表两个时间序列，时间序列之间的虚线代表两个时间序列之间的相似的点。DTW使用所有这些相似点之间的距离的和，称之为归整路径距离(Warp Path Distance)来衡量两个时间序列之间的相似性。

2. DTW计算方法：

令要计算相似度的两个时间序列为X和Y，长度分别为|X|和|Y|。

归整路径(Warp Path)

归整路径的形式为W=w₁,w₂,...,w_K，其中Max(|X|,|Y|)<=K<=|X|+|Y|。

w_k的形式为(i,j)，其中i表示的是X中的i坐标，j表示的是Y中的j坐标。

归整路径W必须从w1=(1,1)开始，到wK=(|X|,|Y|)结尾，以保证X和Y中的每个坐标都在W中出现。

另外，W中w(i,j)的i和j必须是单调增加的，以保证图1中的虚线不会相交，所谓单调增加是指：

最后要得到的归整路径是距离最短的一个归整路径：

最后求得的归整路径距离为D(|X|,|Y|)，使用动态规划来进行求解：

上图为代价矩阵(Cost Matrix) D，D(i,j)表示长度为i和j的两个时间序列之间的归整路径距离。

3. DTW实现：

matlab代码：

function dist = dtw(t,r)n = size(t,1);m = size(r,1);% 帧匹配距离矩阵d = zeros(n,m);for i = 1:n    for j = 1:m        d(i,j) = sum((t(i,:)-r(j,:)).^2);    endend% 累积距离矩阵D = ones(n,m) * realmax;D(1,1) = d(1,1);% 动态规划for i = 2:n    for j = 1:m        D1 = D(i-1,j);        if j>1            D2 = D(i-1,j-1);        else            D2 = realmax;        end        if j>2            D3 = D(i-1,j-2);        else            D3 = realmax;        end        D(i,j) = d(i,j) + min([D1,D2,D3]);    endenddist = D(n,m);

C++实现：

dtwrecoge.h

/***dtwrecoge.h*********************************************************************/#ifndef dtwrecoge_h#define dtwrecoge_h#include
        #include
         #define DTWMAXNUM 2000#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define ABS(a) ((a)>0?(a):(-(a)))#define DTWVERYBIG 100000000.0/*****************************************************************************//* DTWDistance，求两个数组之间的匹配距离/* A,B分别为第一第二个数组，I，J为其数组长度，r为匹配窗口的大小/* r的大小一般取为数组长度的1/10到1/30/* 返回两个数组之间的匹配距离,如果返回－1.0，表明数组长度太大了/*****************************************************************************/double DTWDistanceFun(double *A,int I,double *B,int J,int r);/*****************************************************************************//* DTWTemplate，进行建立模板的工作/* 其中A为已经建立好的模板，我们在以后加入训练样本的时候，/* 以已建立好的模板作为第一个参数，I为模板的长度，在这个模板中不再改变/* B为新加入的训练样本，J为B的长度，turn为训练的次数，在第一次/* 用两个数组建立模板时，r为1，这是出于权值的考虑/* temp保存匹配最新训练后的模板，建议temp[DTWMAXNUM]，函数返回最新训练后模板的长度/* 如果函数返回-1，表明训练样本之间距离过大，需要重新选择训练样本，/* tt为样本之间距离的阈值，自行定义/*****************************************************************************/int DTWTemplate(double *A,int I,double *B,int J,double *temp,int turn,double tt,double *rltdistance);#endif

dtwrecoge.cpp

/*dtwrecoge.cpp**************************************************************/#include "dtwrecoge.h"double distance[DTWMAXNUM][DTWMAXNUM]; /*保存距离*/double dtwpath[DTWMAXNUM][DTWMAXNUM]; /*保存路径*//*****************************************************************************//* DTWDistance，求两个数组之间的匹配距离/* A,B分别为第一第二个数组，I，J为其数组长度，r为匹配窗口的大小/* r的大小一般取为数组长度的1/10到1/30/* 返回两个数组之间的匹配距离,如果返回－1.0，表明数组长度太大了/*****************************************************************************/double DTWDistanceFun(double *A,int I,double *B,int J,int r){    int i,j;    double dist;    int istart,imax;    int r2=r+ABS(I-J);/*匹配距离*/    double g1,g2,g3;    int pathsig=1;/*路径的标志*/    /*检查参数的有效性*/    if(I>DTWMAXNUM||J>DTWMAXNUM){        //printf("Too big number\n");        return -1.0;    }        /*进行一些必要的初始化*/    for(i=0;i
        =I)            imax=I-1;                for(i=istart;i<=imax;i++){            g1=distance[i-1][j]+ABS(A[i]-B[j]);            g2=distance[i-1][j-1]+2*ABS(A[i]-B[j]);            g3=distance[i][j-1]+ABS(A[i]-B[j]);            g2=MIN(g1,g2);            g3=MIN(g2,g3);            distance[i][j]=g3;        }    }            dist=distance[I-1][J-1]/((double)(I+J));    return dist;}/*end DTWDistance*//*****************************************************************************//* DTWTemplate，进行建立模板的工作/* 其中A为已经建立好的模板，我们在以后加入训练样本的时候，/* 以已建立好的模板作为第一个参数，I为模板的长度，在这个模板中不再改变/* B为新加入的训练样本，J为B的长度，turn为训练的次数，在第一次/* 用两个数组建立模板时，r为1，这是出于权值的考虑/* temp保存匹配最新训练后的模板，建议temp[DTWMAXNUM]，函数返回最新训练后模板的长度/* 如果函数返回-1，表明训练样本之间距离过大，需要重新选择训练样本，/* tt为样本之间距离的阀值，自行定义/* rltdistance保存距离，第一次两个数组建立模板时可以随意赋予一个值，/* 后面用前一次返回的值赋予该参数/*****************************************************************************/int DTWTemplate(double *A,int I,double *B,int J,double *temp,int turn,double tt,double *rltdistance){    double dist;    int i,j;    int pathsig=1;    dist=DTWDistanceFun(A,I,B,J,(int)(I/30));    if(dist>tt){        printf("\nSample doesn't match!\n");        return -1;    }            if(turn==1)        *rltdistance=dist;    else{        *rltdistance=((*rltdistance)*(turn-1)+dist)/turn;    }    /*寻找路径,这里我采用了逆向搜索法*/    i=I-1;    j=J-1;    while(j>=1||i>=1){        double m;        if(i>0&&j>0){            m=MIN(MIN(distance[i-1][j],distance[i-1][j-1]),distance[i][j-1]);            if(m==distance[i-1][j]){                dtwpath[i-1][j]=pathsig;                i--;            }            else if(m==distance[i-1][j-1]){                dtwpath[i-1][j-1]=pathsig;                i--;                j--;            }            else{                dtwpath[i][j-1]=pathsig;                j--;            }        }        else if(i==0){            dtwpath[0][j-1]=pathsig;            j--;        }        else{
     /*j==0*/            dtwpath[i-1][0]=pathsig;            i--;        }    }    dtwpath[0][0]=pathsig;    dtwpath[I-1][J-1]=pathsig;        /*建立模板*/    for(i=0;i

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